Lo scopo del seguente progetto è quello di simulare un lanciatore dal momento del decolllo, che avviene sulla linea dell’equatore, fino al possibile raggiungimento dell’orbita. Tale progetto ha richiesto l’accoppiamento coerente di aerodinamica, termodinamica e meccanica orbitale all’interno di uno schema numerico stabile.
Questo simulatore, sviluppato in C++20 con SFML, cerca di modellare un’ascesa fisicamente consistente evitando le semplificazioni puramente cinematiche.

Tale progetto può essere visionato premendo il pulsante qui sotto.

Come usare il programma

La notevole complessità del programma ci ha costretti ad utilizzare parecchi parametri di input che l’utente avrebbe dovuto fornire al momento dell’avvio della simulazione. Per evitare quindi di rendere il programma inacessibile ad un utente non esperto e rendere difficoltosa la fase di inserimento dati, all’avvio della simulazione verrà chiesto se utilizzare il modello basato sui motori base, versione semplificata con pochi parametri, oppure una versione avanzata che richiede la conoscenza di numerosi parametri.

Tali dati possono essere comodamente inseriti dall’utente nel file:

assets/input_data/simulation_params.json

Per comodità valori di defaul ragionevoli sono stati già settati. Ecco di seguito una breve descrizione di tutti i parametri.

Attenzione se si sceglie di usare motori avanzati una modifica nella sezione dei motori di base non sortirà alcun effetto e viceversa.

Parametri di configurazione

Verrà inoltre richiesto all’utente di inserire l’altezza alla quale il razzo proverà a raggiungere l’orbita, tale altezza deve essere superiore a 60’000 m.

Organizzazione dei file principali

• Rocket → gestione del razzo, dinamica e cinematica
• Engine → fisica della di tutte le tipologie di motori selezionabili
• Atmosfera → simulazione dei parametri atmosferici alle diverse quote

Implementazione del Core Dinamico: rocket.cpp

Il file rocket.cpp rappresenta il cuore dinamico e cinematico del simulatore: è qui che convergono propulsione, aerodinamica, gravità, gestione degli stadi e integrazione numerica. gestendo quindi la parte di evoluzione temporale della simulazione.

Scelta del Sistema di Riferimento

La simulazione utilizza un sistema inerziale centrato nel centro della Terra, in coordinate polari:

dove:

• ( r ) = distanza dal centro terrestre
• ( $\psi$ ) = angolo polare
• ( $v_r$ ) = velocità radiale
• ( $v_t$ ) = velocità tangenziale

Perché non un sistema cartesiano?

Un sistema cartesiano richiederebbe:

• Gestione esplicita della curvatura terrestre
• Normalizzazione continua del vettore gravità
• Maggiore instabilità numerica a grande quota
• Maggiori difficoltà nella visualizzazione grafica della posizione del razzo

Integrazione Numerica: Runge–Kutta 2 (Midpoint Method)

Nel file si utilizza un RK2 (metodo del punto medio) per aggiornare velocità e posizione.

Perché non Eulero esplicito?

L’integratore di Eulero classico:

introduce:

• Peggiore conservazione dell’energia durante l’evoluzione temporale della simulazione
• Instabilità in regime orbitale
• Errori amplificati nei termini centrifughi ( $\frac{v_t^2}{r}$ )

Equazioni implementate

In coordinate polari inerziali: \(\dot{v_r} = \frac{F_r}{m} - \frac{v_t^2}{r}\)

e

Il termine: $$

• \frac{v_t^2}{r}

$$

è l’accelerazione centripeta geometrica.

Il termine: \(\frac{v_r v_t}{r}\)

è il termine geometrico accoppiato.

Vantaggi della scelta RK2

• Riduce l’errore durante l’evoluzione temporale ($O(\Delta t^3)$ rispetto a $O(\Delta t^2)$ per il metodo di Eulero)
• Mantiene buona stabilità orbitale
• Compromesso tra accuratezza e costo computazionale

Gestione degli Stadi

Il programma è capace di gestire anche la separazione degli stadi, tuttavia si prega di prestare attenzione al fatto che, per come progettato il programma, lo stadio che brucia carburante solido deve essere distaccato prima del primo stadio a carburante liquido.

Il distacco avviene prevedendo quanto carburante verrà consumato alla successiva iterazione e cercando quindi di utilizzare quanto più carburante possibile.

Tuttavia nella versione attuale del programma non è possibile gestire manualmente quanta spinta deve essere fornita da ogni motore nei vari istanti della simulazione. Questo rende decisamente più complesso il raggiungimento dell’orbita e rendendo meno interativa la simulazione.

È però in programma lo sviluppo di una versione successiva nella quale l’utente potrà avere più controllo sul lancio durante la fase di decollo.

Controllo della Direzione di Spinta

Per ottenere la migliore inclinazione possibile dell’angolo di imbardata del velivolo, vista la complessità nel determinare una legge di regressione, si è preferito usare come riferimento dati dalla telemetria di missioni reali.

Nello specifico si è proceduto analizzando i dati della telemetria di varie missioni, specialmente falcon 9, per poi mediare sull’inclinzazione del velivolo a diverse quote.

improve_theta(...)

Legge un file guida quota–angolo.

Scelta progettuale:

• Profilo di pitch data-driven
• Separazione completa tra guida e dinamica

Difficoltà incontrate:

• Necessità di memorizzare file_pos
• Evitare rewind continui del file
• Stabilizzare il cambio di angolo oltre 20 km

Aerodinamica Dipendente dal Mach e Regime Transonico

La forza di resistenza è modellata come:

La complessità principale risiede nella dipendenza del coefficiente di resistenza \(C_d(M)\) dal numero di Mach.

Drag Divergence

In prossimità di Mach 1:

• Si formano onde d’urto
• Aumenta bruscamente la wave drag
• $C_d$ diventa fortemente non lineare

Una definizione a tratti introduce discontinuità numeriche indesiderate.

Transizioni Continue tra Regimi

Per evitare artefatti numerici, è stata implementata:

double Cd_from_Mach(double M);

La funzione utilizza transizioni lisce basate su tangenti iperboliche:

Questo garantisce:

• Continuità almeno $C^1$
• Profili di accelerazione regolari
• Stabilità numerica

I regimi modellati sono:

• Subsonico
• Transonico
• Supersonico
• Ipersonico

Modelizzazione dei principali parametri atmosferici simulation.cpp

Un semplice decadimento esponenziale della densità non è sufficiente per una simulazione realistica dell’ascesa. Resistenza aerodinamica e prestazioni propulsive dipendono in modo critico dallo stato termodinamico locale.

International Standard Atmosphere (ISA)

Il simulatore implementa il modello ISA, calcolando le proprietà atmosferiche strato per strato:

• Troposfera
• Tropopausa
• Stratosfera (fino a ~51 km, estendibile)

Ogni strato è modellato mediante:

Equilibrio idrostatico: $\frac{dP}{dh} = -\rho g$

Legge dei gas ideali: $ P = \rho R T $

Da queste relazioni si ricavano le grandezze dipendenti dalla quota:

• Pressione $P(h)$
• Densità $\rho(h)$
• Temperatura $T(h)$
• Velocità del suono locale $a(h)$

Per maggiori informazioni tecniche si faccia riferimento a ISA model.

Modellazione dei Motori (engine.cpp)

Il file engine.cpp implementa tre livelli di complessità per la propulsione:

1. Base Engine – modello a impulso specifico costante
2. Advanced Solid Engine – balistica interna completa accoppiata alla pressione in camera
3. Advanced Liquid Engine – modello con flusso strozzato e relazioni isentropiche

L’architettura è polimorfica: ogni motore espone la stessa interfaccia pubblica, per permettere all’utente la più completa libertà di scelta:

• delta_m(dt) → consumo di massa
• eng_force(pa, time, theta) → vettore di spinta

Per la modelizzazione matematica si è fatto riferimento alle seguenti fonti:

• NASA Glenn Research Center – Rocket Thrust Equations .

• NASA Glenn – Isentropic Flow Relations .

• Sutton & Biblarz, Rocket Propulsion Elements, 9th Edition

Base Engine

Questo modello assume:

• Pressione in camera costante
• Perdita di massa costante
• Impulso specifico costante

Portata Massica

dove:

• ( $p_0$ ) = pressione nominale interna alla camera di combustione
• ( $A_{burn}$ ) = area di combustione
• ( $c_m$ ) = coefficiente empirico di perdita di massa

Consumo carburante nel timestep:

\(\Delta m = \dot{m} \Delta t\) spinta \(F = \dot{m} I_{sp} g_0\) dove:

• ( $I_{sp}$ ) = impulso specifico
• ( $g_0$ = acelerazione di gravit \, m/s^2 )

Advanced Solid Engine

Questo modello implementa la fisica interna di un motore a propellente solido.

Legge di Regressione del Propellente (Legge di Saint-Robert): \(\dot{r} = a P_c^n\)

dove:

• ( a ) = coefficiente di combustione
• ( n ) = esponente pressione
• ( $P_c$ ) = pressione in camera

Portata di Massa Generata

dove:

• ( $\rho_p$ ) = densità propellente
• ( $A_b$ ) = area di combustione

3 Portata attraverso l’Ugello (Flusso Strozzato)

dove:

• ( $A_t$ ) = area gola
• ( $c^*$ ) = velocità caratteristica

Bilancio di massa:

\(\frac{dP_c}{dt} = \frac{R_{spec} T_c}{V_c} (\dot{m}_{gen} - \dot{m}_{noz})\) dove:

Velocità Caratteristica

Calcolo Mach di Uscita

Risoluzione numerica dell’equazione area-Mach:

L’equazione viene risolta numericamente tramite metodo di Newton-Raphson per ottenere il Mach di uscita supersonico ( $M_e$ ).

Pressione di Uscita

Velocità di Scarico

Spinta Totale

Il secondo termine rappresenta la componente di pressione dovuta alla differenza tra pressione di uscita e pressione ambiente.

Advanced Liquid Engine

Assunzioni:

• Pressione in camera costante
• Flusso strozzato in gola
• Espansione isentropica

Portata Massica

Numero di Mach di Uscita

Determinato risolvendo numericamente la stessa equazione area-Mach:

Pressione di Uscita

Velocità di Scarico

Spinta

\(F = \dot{m} v_e + (P_e - P_a) A_e\)

Differenze tra i Modelli

Il file engine.cpp rappresenta il livello di modellazione più sofisticato del simulatore.

L’obiettivo non è solo calcolare una spinta, ma riprodurre l’accoppiamento tra:

• Termodinamica dei gas combusti
• Dinamica della pressione in camera
• Flusso comprimibile nell’ugello
• Interazione con la pressione ambiente

Conclusione

Il progetto si è evoluto da semplice simulatore di ascesa a implementazione strutturata di:

• Termodinamica atmosferica stratificata
• Modellazione propulsiva interna
• Meccanica orbitale
• Integrazione numerica

particolare rilevanza ha assunto la separazione rigorosa fra propulsione, aerodinamica e cinematica tramite polimorfismo, per garantire una migliore scalabilità architetturale

Il risultato è una rappresentazione numericamente coerente delle reali difficoltà ingegneristiche e fisiche nel raggiungere l’orbita.

Il progetto è stato una delle sfide più entusiasmanti che abbia mai affrontato, un codice dalla dimensione e complessità a me completamente nuove e pieno di difficicoltà inaspettate. Mi ha insegnato l’importanza dell’organizzare quanto più possibile in modo ordinato il codice e di verificare attentamente l’influenza di ogni minima modifica.

Mi ha fatto passare nottate insonni e momenti straordinari con il mio fedelissimo collaboratore che ringrazio nuovamente per tutti i suoi preziosi contributi.

👥 Collaboratori

Questo progetto è stato possibile grazie al contributo di:

• Sigfrido11 🔗 GitHub
• SierraTangoEcho 🔗 GitHub

The purpose of this project is to simulate a launch vehicle from liftoff, occurring at the equatorial line, up to the possible achievement of orbit. This project required the coherent coupling of aerodynamics, thermodynamics, and orbital mechanics within a numerically stable scheme.

This simulator, developed in C++20 with SFML, aims to model a physically consistent ascent while avoiding purely kinematic simplifications.

The project repository can be viewed and downloaded by clicking the button below.

How to Use the Program

The considerable complexity of the program required the use of several input parameters that the user must provide at the start of the simulation.
To prevent the software from becoming inaccessible to non-expert users and to simplify data entry, at startup the user is asked whether to use the base engine model, a simplified version with few parameters, or an advanced version that requires knowledge of many parameters.

These parameters can be conveniently edited by the user in the file:

assets/input_data/simulation_params.json

For convenience, reasonable default values are already set.

Below is a brief description of all configuration parameters.
Warning: if advanced engines are selected, modifying the base engine section will have no effect and viceversa.

Configuration Parameters

The user will also be asked to specify the altitude at which the rocket will attempt orbital insertion.
This altitude must be greater than 60,000 m.

Main File Organization

• Rocket → rocket management, dynamics, and kinematics
• Engine → physics of all selectable engine types
• Atmosphere → simulation of atmospheric parameters at different altitudes

Core Dynamic Implementation: rocket.cpp

The file rocket.cpp represents the dynamic and kinematic core of the simulator:
it integrates propulsion, aerodynamics, gravity, stage management, and numerical integration, thus governing the time evolution of the simulation.

Choice of Reference Frame

The simulation uses an inertial frame centered at the Earth’s center, expressed in polar coordinates:

where:

• ( r ) = distance from Earth’s center
• ( $\psi$ ) = polar angle
• ( $v_r$ ) = radial velocity
• ( $v_t$ ) = tangential velocity

Why not a Cartesian system?

A Cartesian system would require:

• Explicit handling of Earth curvature
• Continuous normalization of the gravity vector
• Greater numerical instability at high altitude
• Increased difficulty in graphical visualization of the rocket position

Numerical Integration: Runge–Kutta 2 (Midpoint Method)

The file uses an RK2 (midpoint method) integrator to update velocity and position.

Why not explicit Euler?

The classical Euler integrator:

introduces:

• Poorer energy conservation during time evolution
• Instability in orbital regimes
• Amplified errors in centrifugal terms ( $\frac{v_t^2}{r}$ )

Implemented Equations

In inertial polar coordinates:

and

The term:

is the geometric centripetal acceleration.

The term:

is the geometric coupling term.

Advantages of RK2

• Reduces error during time evolution ($O(\Delta t^3)$ compared to $O(\Delta t^2)$ for Euler)
• Maintains good orbital stability
• Balanced compromise between accuracy and computational cost

Stage Management

The program can handle stage separation. However, note that due to the current design, the solid fuel stage must be detached before the first liquid stage.

Separation is handled by predicting how much propellant will be consumed in the next iteration and attempting to use as much propellant as possible.

In the current version, it is not possible to manually control the thrust level of each engine during the simulation.
This makes orbit insertion significantly more challenging and reduces interactivity.

A future version is planned in which the user will have greater control over the launch phase.

Thrust Direction Control

To achieve an optimal pitch angle evolution, rather than defining a regression law analytically, real mission telemetry data was used as reference.

Specifically, telemetry data from several missions, especially Falcon 9, was analyzed, and an average pitch profile as a function of altitude was derived.

improve_theta(...)

Reads an altitude–angle guidance file.

Design choice:

• Data-driven pitch profile
• Complete separation between guidance and dynamics

Challenges encountered:

• Need to store file_pos
• Avoid continuous file rewind
• Stabilize angle changes above 20 km

Mach-Dependent Aerodynamics and Transonic Regime

Drag force is modeled as:

The main complexity lies in the dependence of the drag coefficient \(C_d(M)\) on Mach number.

Drag Divergence

Near Mach 1:

• Shock waves form
• Wave drag increases sharply
• $C_d$ becomes strongly nonlinear

A piecewise definition introduces undesirable numerical discontinuities.

Smooth Regime Transitions

To avoid numerical artifacts, the following function is implemented:

double Cd_from_Mach(double M);

The function uses smooth transitions based on hyperbolic tangents:

This guarantees:

• At least $C^1$ continuity
• Smooth acceleration profiles
• Numerical stability

The modeled regimes are:

• Subsonic
• Transonic
• Supersonic
• Hypersonic

Modeling of Main Atmospheric Parameters simulation.cpp

A simple exponential decay of density is insufficient for a realistic ascent simulation. Aerodynamic drag and propulsion performance critically depend on the local thermodynamic state.

International Standard Atmosphere (ISA)

The simulator implements the ISA model, computing atmospheric properties layer by layer:

• Troposphere
• Tropopause
• Stratosphere (up to ~51 km, extendable)

Each layer is modeled using:

Hydrostatic equilibrium: $\frac{dP}{dh} = -\rho g$

Ideal gas law: $ P = \rho R T $

From these relations, altitude-dependent quantities are derived:

• Pressure $P(h)$
• Density $\rho(h)$
• Temperature $T(h)$
• Local speed of sound $a(h)$

For more technical details, see: ISA model.

Engine Modeling (engine.cpp)

The file engine.cpp implements different levels of propulsion complexity:

1. Base Engine – constant specific impulse model
2. Advanced Solid Engine – full internal ballistics coupled with chamber pressure
3. Advanced Liquid Engine – choked flow model with isentropic relations

The architecture is polymorphic: each engine exposes the same public interface, allowing the user complete freedom of choice:

• delta_m(dt) → mass lost consumption
• eng_force(pa, time, theta) → thrust vector

For the mathematical modeling, the following references were used:

• NASA Glenn Research Center – Rocket Thrust Equations
• NASA Glenn – Isentropic Flow Relations
• Sutton & Biblarz, Rocket Propulsion Elements, 9th Edition

Base Engine

This model assumes:

• Constant chamber pressure
• Constant mass loss
• Constant specific impulse

Mass Flow Rate

where:

• ( $p_0$ ) = nominal combustion chamber pressure
• ( $A_{burn}$ ) = burning surface area
• ( $c_m$ ) = empirical mass loss coefficient

Fuel consumption per timestep:

Thrust

where:

• ( $I_{sp}$ ) = specific impulse
• ( $g_0$ ) = standard gravity acceleration (m/s²)

Advanced Solid Engine

This model implements the internal physics of a solid propellant rocket motor.

Propellant Regression Law (Saint-Robert’s Law):

where:

• ( a ) = burn rate coefficient
• ( n ) = pressure exponent
• ( $P_c$ ) = chamber pressure

Generated Mass Flow Rate

where:

• ( $rho_p$ ) = propellant density
• ( $A_b$ ) = burning area

Mass Flow Through the Nozzle (Choked Flow)

where:

• ( $A_t$ ) = throat area
• ( $c^*$ ) = characteristic velocity

Mass Balance

where:

Characteristic Velocity

Exit Mach Number Calculation

Numerical solution of the area–Mach equation:

The equation is solved numerically using the Newton–Raphson method to obtain the supersonic exit Mach number ( $M_e$ ).

Exit Pressure

Exhaust Velocity

Total Thrust

The second term represents the pressure contribution due to the difference between exit pressure and ambient pressure.

Advanced Liquid Engine

Assumptions:

• Constant chamber pressure
• Choked flow at the throat
• Isentropic expansion

Mass Flow Rate

Exit Mach Number

Determined by numerically solving the same area–Mach equation:

Exit Pressure

Exhaust Velocity

Thrust

Differences Between Models

The file engine.cpp represents the most sophisticated modeling layer of the simulator.

The objective is not merely to compute thrust,
but to reproduce the coupling between:

• Combustion gas thermodynamics
• Chamber pressure dynamics
• Compressible flow in the nozzle
• Interaction with ambient pressure

Conclusion

The project evolved from a simple ascent simulator into a structured implementation of:

• Layered atmospheric thermodynamics
• Internal propulsion modeling
• Orbital mechanics
• Numerical integration

Particular importance was given to the rigorous separation between propulsion, aerodynamics, and kinematics through polymorphism, ensuring improved architectural scalability.

The result is a numerically consistent representation of the real engineering and physical challenges involved in reaching orbit.

This project has been one of the most exciting challenges I have ever undertaken, a codebase of size and complexity completely new to me and full of unexpected difficulties.
It taught me the importance of organizing code as cleanly as possible and carefully verifying the impact of every small modification.

It brought sleepless nights and extraordinary moments shared with my trusted collaborator, whom I thank once again for his invaluable contributions.

👥 Contributors

This project was made possible thanks to the contribution of:

• Sigfrido11 🔗 GitHub
• SierraTangoEcho 🔗 GitHub

Visto che la quasi totalità dei progetti è stata scritta in C++ riporto qui due piccoli progetti con Jupyter notebook. Tali script possono essere aperti con diversi servizi online gratuiti come Google Colab.

Grafici

Il primo script è stato utilizzato per la creazione dei grafici presenti al capitolo 7 della tesi per il progetto di comunicazione aumentativa. Puoi visitare il progetto e scaricare il PDF della tesi qui sotto.

Ecco due esempi dei grafici ottenuti.

Analisi statistica delle cifre di $\pi$, numeri irrazionali e Legge di Benford

In questo secondo progetto ho esplorato il comportamento statistico delle cifre di alcuni numeri irrazionali e di particolari sequenze numeriche, con l’obiettivo di verificare sperimentalmente proprietà teoriche come la normalità delle cifre e la Legge di Benford. Il progetto è scaricabile premendo il seguente pulsante.

L’intero lavoro è stato sviluppato in Python, utilizzando librerie scientifiche come mpmath, numpy, scipy e matplotlib.

Parte I — Densità delle cifre nei numeri irrazionali

Obiettivo

Verificare sperimentalmente l’ipotesi che $\pi$ possa comportarsi come un numero normale, ovvero che ogni cifra decimale (0–9) compaia con frequenza pari a 1/10.

Metodologia

1. Calcolo di 50.000 cifre di $\pi$

Ho utilizzato la libreria mpmath per generare $\pi$ con precisione arbitraria. È stato necessario impostare correttamente il numero di cifre significative (mp.dps) e convertire il numero in stringa per analizzare ogni singola cifra.

2. Calcolo delle frequenze

Per ciascuna cifra ( d \in [0,9] ) ho calcolato:

dove ( $n_d$ ) è il numero di occorrenze della cifra e ( N = 5 $\times 10^4$ ).

3. Stima delle incertezze

Assumendo distribuzione binomiale, ho stimato l’errore come:

4. Fit lineare dei dati

Per testare formalmente l’ipotesi di equiprobabilità ho adattato ai dati il modello:

utilizzando scipy.optimize.curve_fit.

L’ipotesi teorica di distribuzione uniforme corrisponde al punto:

5. Analisi statistica

Dal fit ho ottenuto:

• Parametri ottimali ( $\hat{\alpha}, \hat{\beta}$ )
• Matrice di covarianza
• Correlazione tra i parametri
• Valore minimo del $\chi^2$:

Con 10 punti e 2 parametri, i gradi di libertà sono:

Ho quindi calcolato il p-value come probabilità di sopravvivenza della distribuzione $\chi^2$.

6. Ellissi di confidenza

Utilizzando la matrice di covarianza restituita dal fit, ho costruito l’ellisse definita da:

Nel grafico sono stati indicati:

• Il punto di best-fit ( ($\hat{\alpha}, \hat{\beta})$ )
• L’ipotesi teorica ( (1,0) )
• L’ellisse di confidenza al 68%
• L’ellisse di confidenza al 95%

Questo permette di valutare visivamente e quantitativamente la compatibilità dell’ipotesi di equiprobabilità con i dati.

Estensione ad altri numeri

La stessa analisi è stata ripetuta per:

• ( e )
• ( $\sqrt{2}$ )
• Il numero aureo ( $\varphi$ )
• La sequenza di Fibonacci
• Le sequenze di Lucas e Padovan

In tutti i casi analizzati, le frequenze delle cifre risultano compatibili con l’equiprobabilità entro le fluttuazioni statistiche.

È particolarmente interessante osservare come sequenze completamente deterministiche, come quella di Fibonacci, mostrino proprietà statistiche simili a quelle attese per numeri normali.

Parte II — La Legge di Benford

La seconda parte del progetto riguarda la distribuzione della prima cifra significativa.

A differenza delle cifre interne di $\pi$, le prime cifre di molte grandezze reali non sono uniformi ma seguono la distribuzione logaritmica:

con ( $d \in [1,9]$ ).

Analisi effettuate

1. Prima cifra dei numeri di Fibonacci

Ho estratto la prima cifra dei numeri ( $F_n$ ) e calcolato le frequenze osservate.

Successivamente ho adattato il modello parametrico:

L’ipotesi esatta della Legge di Benford corrisponde a:

Anche in questo caso ho:

• Eseguito il fit
• Calcolato la matrice di covarianza
• Costruito l’ellisse di confidenza al 95%
• Valutato il $\Delta\chi^2$ rispetto all’ipotesi teorica

2. Prodotti di variabili casuali

È noto che il prodotto di molte variabili casuali indipendenti tende alla Legge di Benford.

Ho verificato numericamente questo comportamento per:

dove ( $X_k$ ) sono variabili uniformi.

All’aumentare di ( n ), la distribuzione della prima cifra converge rapidamente alla distribuzione logaritmica teorica.

Since most of my projects are written in C++, I’m sharing here two small projects built with Jupyter notebooks. These scripts can be opened with free online services such as Google Colab.

Charts

The first script is used to generate the plots shown in Chapter 7 of the thesis for the augmentative communication project. You can visit the project and download the thesis PDF below.

Here are two examples of the resulting plots.

Statistical analysis of the digits of $\pi$, irrational numbers, and Benford’s law

In this project I have explored the statistical behavior of the digits of some irrational numbers and specific numerical sequences, with the goal of experimentally verifying theoretical properties such as digit normality and Benford’s law. The project can be downloaded using the button below.

The entire work was developed in Python, using scientific libraries such as mpmath, numpy, scipy, and matplotlib.

Part I - Digit density in irrational numbers

Goal

Verify experimentally the hypothesis that $\pi$ behaves like a normal number, i.e., that each decimal digit (0-9) appears with frequency 1/10.

Methodology

1. Computing 50,000 digits of $\pi$

I used the mpmath library to generate $\pi$ with arbitrary precision. It was necessary to set the number of significant digits (mp.dps) correctly and convert the number to a string to analyze each digit.

2. Computing frequencies

For each digit ( $d \in [0,9]$ ) I computed:

where ( $n_d$ ) is the number of occurrences of the digit and ( $N = 5 \times 10^4$ ).

3. Uncertainty estimates

Assuming a binomial distribution, I estimated the error as:

4. Linear fit of the data

To formally test the equiprobability hypothesis I fitted the model:

using scipy.optimize.curve_fit.

The theoretical uniform-distribution hypothesis corresponds to:

5. Statistical analysis

From the fit I obtained:

• Best-fit parameters ( $\hat{\alpha}, \hat{\beta}$ )
• Covariance matrix
• Parameter correlation
• Minimum $\chi^2$:

With 10 points and 2 parameters, the degrees of freedom are:

I then computed the p-value as the survival probability of the $\chi^2$ distribution.

6. Confidence ellipse

Using the covariance matrix returned by the fit, I built the ellipse defined by:

The plot shows:

• The best-fit point ( $(\hat{\alpha}, \hat{\beta})$ )
• The theoretical hypothesis ( (1,0) )
• The 68% confidence ellipse
• The 95% confidence ellipse

This allows a visual and quantitative assessment of the compatibility of the equiprobability hypothesis with the data.

Extension to other numbers

The same analysis was repeated for:

• ( e )
• ( $\sqrt{2}$ )
• The golden ratio ( $\varphi$ )
• The concatenation of Fibonacci numbers
• The Lucas and Padovan sequences

In all cases, the digit frequencies are compatible with equiprobability within statistical fluctuations.

It is especially interesting to see how fully deterministic sequences, such as Fibonacci, show statistical properties similar to those expected for normal numbers.

Part II - Benford’s law

The second part of the project concerns the distribution of the first significant digit.

Unlike the internal digits of $\pi$, the leading digit of many real-world quantities is not uniform but follows the logarithmic distribution:

with ( $d \in [1,9]$ ).

Analyses performed

1. First digit of Fibonacci numbers

I extracted the first digit of the numbers ( $F_n$ ) and computed the observed frequencies.

I then fitted the parametric model:

The exact Benford’s law hypothesis corresponds to:

In this case as well I:

• Performed the fit
• Computed the covariance matrix
• Built the 68% and 95% confidence ellipse
• Evaluated $\Delta\chi^2$ relative to the theoretical hypothesis

2. Products of random variables

It is known that the product of many independent random variables tends to follow Benford’s law.

I verified this behavior numerically for:

where ( $X_k$ ) are uniform variables.

As ( n ) increases, the first-digit distribution rapidly converges to the theoretical logarithmic distribution.

My bachelor’s thesis investigates the possible existence and detection of a hypothetical exotic supernucleus, the c-deuteron. This state is theorised as a bound system between a charmed baryon, $\Lambda_{c}^{+}$, and a neutron. Theoretical studies suggest it could offer unique insights into interactions between charmed baryons and nucleons, opening a new window on strong-interaction dynamics in the presence of the charm quark. Although no experimental confirmation exists yet, searches in high-energy collision facilities aim to identify this exotic supernucleus.

You can read the full thesis using the button below:

What was done?

Using the Thermal Fist simulation framework, multiple event samples were generated to study how varying key parameters affects the production of the c-deuteron: freeze-out temperature, freeze-out radius, and charm fugacity. The plots below summarise the observed trends and best-fit parameters.

For full details, see the thesis.

The next step focused on detecting secondary deuterons from c-deuteron decay. The transverse-momentum distribution of the c-deuteron was derived from the previous analysis, then events were generated with Pythia 8 so that the $p_T$ spectrum matched the expected one.

Using a Hit-or-Miss approach with ALICE detector specifications, we estimated the fraction of secondary deuterons whose tracks could be correctly reconstructed.

The increase in reconstructed deuterons, under reasonable assumptions, is: \(N_{\text{deut}} = (1938 \pm 12)\ \text{deuterons}\)

Again, all methodological details are in the thesis text.

Explore the code

The analysis code is available on GitHub:

In tesi.C you will find the data analysis and plotting routines; the rilevazioni/ folder (plus the accompanying Pythia files) contains the Monte Carlo implementation used for the reconstruction study.

La tesi di laurea triennale è un’indagine sulla possibile esistenza e rilevazione di un ipotetico supernucleo ancora non osservato sperimentalmente, chiamato c‑deuterone. Il c‑deuterone è un supernucleo esotico ipotizzato come uno stato legato tra un barione $\Lambda_{c}^{+}$ e un neutrone. Studi teorici suggeriscono che tale sistema possa fornire approfondimenti unici sulle interazioni tra barioni charmati e nucleoni, offrendo una nuova finestra sulle dinamiche delle interazioni forti in presenza del quark charm. Sebbene la conferma sperimentale sia ancora assente, la sua ricerca in strutture dove avvengono collisioni ad alta energia mira a identificare la possibile esistenza di questo supernucleo esotico.

Puoi leggere la tesi completa dai link qui sotto.

Cosa è stato fatto?

Grazie al programma di analisi Thermal Fist, si sono generati diversi eventi analizzando come la variazione di parametri della simulazione influenzi la produzione del supernucleo: temperatura di freeze-out, raggio di freeze-out e fugacità di charm. I grafici seguenti riassumono gli andamenti individuati e i parametri di best fit.

Per maggiori dettagli rimando al testo.

Successivamente si è proceduto con la fase relativa alla rilevazione dei deutoni secondari derivanti dal decadimento del c-deuterone. Usando i dati precedentemente raccolti si è ottenuta la distribuzione dell’impulso trasverso del c-deuterone e si sono generati, con Pythia 8, tali supernuclei in modo che l’impulso trasverso risultasse coerente con quanto trovato.

Con un approccio di tipo Hit or Miss, impiegando le specifiche del rivelatore di ALICE, è stata stimata la frazione di deutoni secondari da decadimento del c-deuterone la cui traccia risulta ricostruibile.

L’incremento del numero di deutoni è risultato, sotto opportune ipotesi, pari a: \(N_{deut} = (1938 \pm 12) \text{deutoni}\)

Per approfondire, rimando nuovamente al testo.

Esplora il codice

Per toccare con mano il codice è possibile visitare il seguente link. Nel file tesi.C trovi la parte di codice relativa all’analisi dei dati prodotti e alla generazione dei grafici, mentre nella cartella rilevazioni/, oltre ai file di Pythia, si trova il codice con l’implementazione Monte Carlo.

Overview

This project can be explored at the following link.

This project implements a Monte Carlo simulation of particle physics events using ROOT for statistical analysis and visualization.

The main goal is:

Reconstruct the K* resonance (mass ~0.892 GeV) from the invariant-mass spectrum of $\pi$-K pairs.

The code simulates events with light particles ($\pi$, K, p) and an unstable resonance (K*) whitch decays into two particles. Then it analyzes the invariant-mass spectra to identify the resonance peak above the combinatorial background.

Project Structure

The project is split into three main components:

1 particle.cpp

Implements the Particle class, which represents a physical particle with:

• name
• momentum (px, py, pz)
• mass
• charge
• optional decay width (for resonances)

Main features

• Relativistic energy calculation: \(E = \sqrt{p^2 + m^2}\)

• Invariant mass calculation between two particles:

• Two-body decay (Decay2Body)
• Includes resonance width effects (Breit-Wigner simulated via Gaussian distribution)
• Isotropic generation of decay products
• Relativistic boost to the laboratory frame

This class is the physics core of the project.

2 main.cpp

It is the simulation engine.

What it does

Defines particle types:

• $\pi^+$, $\pi^-$
• $K^+$, $K^-$
• $p^+$, $p^-$
• K* resonance (mass 0.89166 GeV, width 0.050 GeV)

Simulates 100,000 events with 100 particles each.

Particle Generation

Particles are generated with the following probabilities:

The magnitude of the momentum follows an isotropic exponential distribution:

K* Production and Decay

When a resonance is generated:

1. A particle "resonance" is created
2. It decays into:
   • $\pi^+ K^-$ (50%)
   • $\pi^- K^+$ (50%)
3. The following are recorded:
   • invariant mass of decay products
   • contribution to the combinatorial background

This is essential to verify that the resonance peak can be reconstructed even in the presence of background.

Analysis (analyse.cpp)

The analysis phase reads the generated ROOT file and checks the physical and statistical consistency of the simulation.

Consistency Checks

• Total number of particles generated
• Species distributions ($\pi$, K, p, K*)
• Comparison with theoretical probabilities (compatibility within $3\sigma$)

The goal is to verify that the Monte Carlo generation correctly reproduces the fractions set in the generator.

Distribution Studies

Several kinematic observables are analyzed:

• Uniform angle distributions ($\phi$, $\theta$)
• Exponential fit of the momentum magnitude:

• Invariant mass spectra built for:
  • all pairs
  • same-charge pairs
  • opposite-charge pairs
  • $\pi$-K pairs only

Combinatorial Background Subtraction

To isolate the K* signal, the difference between opposite-charge and same-charge pairs is used:

This method reduces the uncorrelated background, allowing the contribution of real resonances to emerge.

Two spectra are obtained:

• Full spectrum (all combinations)
• Spectrum selecting only $\pi$-K pairs

After removing the background, the graph of the invariant mass, visible below, show clearly a pcik in correspondence of the resonance mass k*.

Resonance Fit

The peak is fitted with a Gaussian function:

The fit extracts:

• K* mass ($\mu$)
• Observed width ($\sigma$)
• $\chi^2/\text{NDF}$
• Fit probability

The expected result is a mass compatible with:

Why This Project Is Interesting

This code reproduces, in simplified form, real analysis techniques used in high-energy physics:

• Resonance reconstruction via invariant mass
• Combinatorial background estimation and subtraction
• Statistical fits with ROOT
• Validation through $\chi^2$ and fit probability

To do this, it goes through all phases of a simulation. It starts with the physical part of the project where particles are generated according to a given distribution and the decay of possible K* is studied. Thanks to the data analysis phase different histograms of possible combinations are built and the background is then removed. This process highlights a peak in the invariant-mass plot, revealing the presence of the resonance. This small-scale model allow to understand in a simplified way a possible process used to discover new particles.

👥 Collaborators

This project was possible thanks to the contributions of:

• Sigfrido11 🔗 GitHub
• Fioralli 🔗 GitHub
• SierraTangoEcho 🔗 GitHub

Overview

Questo progetto può essere esplorato al seguente link.

Questo progetto implementa una simulazione Monte Carlo di eventi di fisica delle particelle utilizzando ROOT per l’analisi statistica e la visualizzazione dei risultati.

L’obiettivo principale è:

Ricostruire la risonanza K* (massa ~0.892 GeV) a partire dallo spettro delle masse invarianti delle coppie $\pi$–K.

Il codice simula eventi con produzione di particelle leggere ($\pi$, K, p) e di una risonanza instabile (K*) che decade in due corpi. Successivamente analizza gli spettri di massa invariante per identificare il picco della risonanza sopra il fondo combinatoriale.

Struttura del Progetto

Il progetto è diviso in tre componenti principali:

1 particle.cpp

Implementa la classe Particle, che rappresenta una particella fisica con:

• nome
• quantità di moto (px, py, pz)
• massa
• carica
• eventuale larghezza di decadimento (per le risonanze)

Funzionalità principali

• Calcolo dell’energia relativistica: \(E = \sqrt{p^2 + m^2}\)

• Calcolo della massa invariante tra due particelle:

• Decadimento a due corpi (Decay2Body)
• Include effetto di larghezza della risonanza (Breit-Wigner simulato via distribuzione gaussiana)
• Genera i prodotti in modo isotropico
• Boost relativistico nel sistema del laboratorio

Questa classe è il cuore fisico del progetto.

2 main.cpp

È il motore della simulazione.

Cosa fa

Definisce i tipi di particelle:

• $\pi$⁺, $\pi$⁻
• K⁺, K⁻
• p⁺, p⁻
• risonanza K* (massa 0.89166 GeV, width 0.050 GeV)

Simula 100.000 eventi da 100 particelle

Generazione delle particelle

Le particelle vengono generate con probabilità:

Il modulo della quantità di moto segue una distribuzione isotropa esponenziale:

Produzione e decadimento della K*

Quando viene generata una risonanza:

1. Viene creata una particella "resonance"
2. Viene fatta decadere in:
   • $\pi$⁺ K⁻ (50%)
   • $\pi$⁻ K⁺ (50%)
3. Si registra:
   • massa invariante dei prodotti di decadimento
   • contributo al fondo combinatoriale

Questo è fondamentale per verificare che il picco della risonanza sia ricostruibile anche in presenza di fondo.

Analisi (analyse.cpp)

La fase di analisi legge il file ROOT generato e verifica la coerenza fisica e statistica della simulazione.

Controlli di consistenza

• Numero totale di particelle generate
• Distribuzione delle specie ($\pi$, K, p, K*)
• Confronto con le probabilità teoriche (compatibilità entro $3\sigma$)

L’obiettivo è verificare che la generazione Monte Carlo riproduca correttamente le frazioni impostate nel generatore.

Studio delle distribuzioni

Vengono analizzate diverse osservabili cinematiche:

• Distribuzione uniforme degli angoli ($\phi$, $\theta$)
• Fit esponenziale del modulo della quantità di moto:

• Spettri di massa invariante costruiti per:
  • tutte le coppie
  • coppie a stessa carica
  • coppie a carica opposta
  • sole coppie $\pi$–K

Sottrazione del fondo combinatoriale

Per isolare il segnale della K* si utilizza la differenza tra coppie a carica opposta e coppie a stessa carica:

Questo metodo riduce il fondo non correlato, lasciando emergere il contributo delle vere risonanze.

Si ottengono due spettri:

• Spettro completo (tutte le combinazioni)
• Spettro selezionando solo coppie $\pi$–K

Dopo aver rimosso il fondo il grafico della massa invariante visibile qui sotto mostra chiaramente un picco in corrispondenza della massa della k*.

Fit della risonanza

Il picco viene fittato con una funzione gaussiana:

Dal fit si estraggono:

• Massa della K* ($\mu$)
• Larghezza osservata ($\sigma$)
• $\chi^2/\text{NDF}$
• Probabilità del fit

Il risultato atteso è una massa compatibile con:

Perché questo progetto è interessante

Questo codice riproduce in forma semplificata tecniche reali di analisi in fisica delle alte energie:

• Ricostruzione di risonanze tramite massa invariante
• Stima e sottrazione del fondo combinatoriale
• Fit statistici con ROOT
• Validazione tramite $\chi^2$ e probabilità del fit

Per farlo si passa attraverso tutte le fasi di una simulazione. Si parte infatti dalla parte fisica del progetto in cui vengono generate le particelle secondo una data distribuzione e si studia il decadimento della $k^*$, all’analisi dei dati nella quale si costruiscono gli istogrammi delle possibili combinazioni per poi rimuovere il fondo. Questo processo permette quindi di vedere in piccolo ed in modo semplificato il processo usato per la scoperta di nuove particelle.

👥 Collaboratori

Questo progetto è stato possibile grazie al contributo di:

• Sigfrido11 🔗 GitHub
• Fioralli 🔗 GitHub
• SierraTangoEcho 🔗 GitHub